Question

3．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为$\sqrt{2}$+1，最小值为$\sqrt{2}$-1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求直线的斜率k．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由椭圆的性质可得a+c=1+$\sqrt{2}$，a-c=$\sqrt{2}$-1，解方程可得a，c，进而得到b，可得椭圆的方程；
（2）设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及直径所对的圆心角为直角，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程可得k．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得a+c=1+$\sqrt{2}$，a-c=$\sqrt{2}$-1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程可得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由以AB为直径的圆过原点，可得OA⊥OB，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即为x₁x₂+y₁y₂=0，
即有（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0，
代入韦达定理，可得$\frac{（1+{k}^{2}）（2{k}^{2}-2）-4{k}^{4}+2{k}^{4}+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
化简即为k²=2，解得k=±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆上的点与焦点的距离的最值，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的能力，属于中档题．