Question

13．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$，（t为参数）与圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=1+\sqrt{2}sinθ\end{array}$，（θ为参数）相交于A，B两点，
（1）求弦长|AB|；
（2）设P（m，0）．m∈R，求||PA|-|PB||的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圆C的普通方程，得出圆心和半径，求出直线l的普通方程，计算圆心到直线的距离，使用垂径定理计算弦长；
（2）根据三角形知识可知当A，B．P三点共线时，||PA|-|PB||取得最大值|AB|．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$，（t为参数），∴x+y=3，∴直线l的普通方程为x+y-3=0．
由C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=1+\sqrt{2}sinθ\end{array}$，（θ为参数），∴（x-1）²+（y-1）²=2，即圆C的圆心为（1，1），半径为$\sqrt{2}$．
∴圆心（1，1）到直线l：x+y-3=0的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$．
（2）当A，B，P三点共线时，||PA|-|PB||=|AB|，当A，B，P三点不共线时||PA|-|PB||＜|AB|．
∴||PA|-|PB||的最大值为|AB|=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．