Question

8．（x²-x-2）⁴的展开式中，x³的系数为-40（用数字填写答案）

Answer 1

分析 解法一：根据（x²-x-2）⁴ =（x-2）⁴•（x+1）⁴ ，把（x-2）⁴和（x+1）⁴ 分别使用二项式定理展开，可得x³的系数．
解法二：根据乘方的意义，分类讨论求得x³的系数．

解答 解：解法一：∵（x²-x-2）⁴ =（x-2）⁴•（x+1）⁴ =
[${C}_{4}^{0}$•x⁴+${C}_{4}^{1}$•x³•（-2）+${C}_{4}^{2}$•x²•（-2）²+${C}_{4}^{3}$•x•（-2）³+${C}_{4}^{4}$•（-2）⁴]•（${C}_{4}^{0}$•x⁴+${C}_{4}^{1}$•x³+${C}_{4}^{2}$•x²+${C}_{4}^{3}$•x+${C}_{4}^{4}$）
故x³的系数为-2${C}_{4}^{1}$•1+4${C}_{4}^{2}$•${C}_{4}^{3}$+（-8${C}_{4}^{3}$）•${C}_{4}^{2}$+16•${C}_{4}^{1}$=-40，
故答案为：-40．
解法二：∵（x²-x-2）⁴ 表示4个因式（x²-x-2）的乘积，
x³的系数可以是：从4个因式中选一因式提供x²，其余的3个因式中有一个提供（-x），其余的2个因式都提供（-2），
也可以是从4个因式中选3个因式都提供（-x），其余的1个提供（-2），可得x³的系数，
故x³的系数为：${C}_{4}^{1}$•${C}_{3}^{1}$（-1）•${C}_{2}^{2}$（-2）²+${C}_{4}^{3}$（-1）•（-2）=-48+8=-40．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，乘方的意义，属于中档题．