Question

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinB=cosA•sinC，并且三边长a、b、c成等差数列．
（I）求cosB的值；
（Ⅱ）若G是△ABC的重心，求cos∠AGC的值．

Answer 1

分析 （1）使用正余弦定理将角化边结合a，b，c成等差数列得出a，b，c之间的关系得出；
（2）利用重心的性质用a表示出△AGC的三条边，使用余弦定理解出余弦值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinB=cosA•sinC，∴b=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$•c，∴a²+b²=c²．
∴△ABC是直角三角形，C=90°．
∵a、b、c成等差数列，∴a+c=2b，即c=2b-a，
∴a²+b²=（2b-a）²，即b=$\frac{4a}{3}$．∴c=2b-a=$\frac{5a}{3}$．
∴cosB=$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$．
（2）设AB中点为D，BC中点为E，则CD=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{5a}{6}$，∴CG=$\frac{2}{3}CD$=$\frac{5a}{9}$．
由勾股定理得AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{b}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{73}a}{6}$．∴AG=$\frac{2}{3}AE$=$\frac{\sqrt{73}a}{9}$．
在△ACG中，由余弦定理得cos∠AGC=$\frac{A{G}^{2}+C{G}^{2}-A{C}^{2}}{2AG•CG}$=$\frac{\frac{73{a}^{2}}{81}+\frac{25{a}^{2}}{81}-\frac{16{a}^{2}}{9}}{2×\frac{\sqrt{73}a}{9}×\frac{5a}{9}}$=-$\frac{23\sqrt{73}}{365}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．