Question

5．已知函数f（x）=ax²-blnx在点A（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到f（1）=a=1，f′（1）=2a-b=0，解出a，b的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，得到函数的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-$\frac{b}{x}$，
f（1）=a=1，f′（1）=2a-b=0①，
将a=1代入2a-b=0，解得：b=2；
（2）由（1）得：f（x）=x²-2lnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=1．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，求函数的单调区间、极值问题，是一道基础题．