Question

20．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数）．
（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=$\sqrt{14}$，试求实数m值．
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+2y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心和半径，根据垂径定理列出方程解出m；
（2）求出曲线C的参数方程，将参数方程代入x+2y得到关于参数得三角函数，使用三角函数的性质得出最值．

解答 解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，∴直线l的直角坐标方程为：y=x-m．即x-y-m=0．
∵|AB|=$\sqrt{14}$，∴圆心到直线l的距离（弦心距）d=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即$\frac{|2-0-m|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得m=1或m=3．
（2）曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+2y=2+2cosθ+4sinθ=2+2$\sqrt{5}$sin（θ+φ）．
∴x+2y的取值范围是[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．