Question

9．与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同渐近线，且与椭圆$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{2}=1$有共同焦点的双曲线方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同渐近线的双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=λ，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得λ值，则答案可求．

解答 解：由$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{2}=1$，得a²=8，b²=2，
∴c²=6，得c=$\sqrt{6}$，
即椭圆的半焦距为$\sqrt{6}$．
设与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同渐近线的双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=λ，
∵所求双曲线的焦点在y轴上，则λ＜0，
双曲线方程化为：$\frac{{y}^{2}}{-λ}-\frac{{x}^{2}}{-2λ}=1$，
设双曲线的实半轴长为m，虚半轴长为n，
则m²=-λ，n²=-2λ，
∴${m}^{2}+{n}^{2}=-λ-2λ=（\sqrt{6}）^{2}$，解得：λ=-2．
∴所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线标准方程的求法，掌握与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$有共同渐近线的双曲线方程的设法是关键，是中档题．