Question

1．在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求异面直线PA，BC所成角；
（2）设Q为棱PC上一点，$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PC}$，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为60°．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设异面直线PA，BC所成角为θ，结合向量的数量积运算即可求出，
（2）分别求出平面PBD的法向量，与面QBD的法向量，通过二面角结合数量积求解λ即可．

解答 解：（1）∵AD⊥平面PDC，PD⊥DC，
∴AD⊥DC，
∴PD⊥平面ABCD，
以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，|$\overrightarrow{PA}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$，
设异面直线PA，BC所成角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=120°
（2）∵$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1），
设平面BPD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，
令x=-1，则y=1，z=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，1，0），
令Q（x₀，y₀，z₀），
∵$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PC}$，
∴Q（0，2λ，1-λ），
∴$\overrightarrow{DQ}$=（0，2λ，1-λ），
设平面QBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DQ}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2λy+（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则$\overrightarrow{m}$=（-1，1，$\frac{2λ}{λ-1}$），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1+1=2，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{2+（\frac{2λ}{λ-1}）^{2}}$
∵二面角Q-BD-P为60°，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m•}\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{2+（\frac{2λ}{λ-1}）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
解得λ=3-$\sqrt{6}$，λ=3+$\sqrt{6}$，
∵Q在PC上，0＜λ＜1，
∴λ=3-$\sqrt{6}$．

点评 本题考查异面直线所成的角，二面角的平面角的求解与应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．