Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1与定点A（1，2），F是椭圆C的右焦点，点M是椭圆C上的动点，则当$\frac{AM}{3}$+MF取最小值时，点M的坐标为（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）．

Answer 1

分析 首先利用椭圆的第二定义把关系式进行转化，进一步利用椭圆的方程求出离心率及准线方程，进一步利用三点共线求得M的坐标．

解答 解：由椭圆的第二定义：e=$\frac{|MF|}{d}$，
d代表M到右准线的距离，用|MP|=d，
d=$\frac{|MF|}{e}$，
由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
右准线方程为：x=9，
$\frac{AM}{3}$+MF=$\frac{1}{3}$（AM+3MF）=$\frac{1}{3}$（AM+d）=$\frac{1}{3}$（AM+MP），
即当M、P、A三点共线时，$\frac{AM}{3}$+MF取得最小值，
令y=2，可得x=3$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即有M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）．
故答案为：（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）．

点评 本题考查的知识点：椭圆的第二定义，椭圆的离心率，准线方程，以及三点共线问题．