Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0，其中m＜5．
（1）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且$|{MN}|=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，求m的值；
（2）在（1）的条件下，是否存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上恰有四个点到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．
（3）若圆C上存在点P，使|PA|=2|PO|，其中点A（-3，0），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据x+2y-4=0相交于M，N两点，且$|{MN}|=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，可得圆的半径，进而得到m的值；
（2）若直线l：x-2y+c=0，使得圆上恰有四个点到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则圆心到直线的距离d＜1-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，解得答案；
（3）若圆C上存在点P（x，y），使|PA|=2|PO|，则圆C：x²+y²-2x-4y+m=0与圆x²+y²-2x-3=0有交点，解得答案．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x-4y+m=0的圆心坐标为（1，2），
圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且$|{MN}|=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
则圆的半径r=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2}）^{2}}$=1，
即$\frac{\sqrt{20-4m}}{2}=1$，解得：m=4；
（2）由（1）中圆的半径为1，
若存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上恰有四个点到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
则圆心到直线的距离d＜1-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
即$\frac{|1-4+c|}{\sqrt{5}}$＜1-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得：c∈（4-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$+2）；
（3）若圆C上存在点P（x，y），使|PA|=2|PO|，
即（x+3）²+y²=4x²+4y²，
则x²+y²-2x-3=0，
即圆C：x²+y²-2x-4y+m=0与圆x²+y²-2x-3=0有交点，
则$\frac{\sqrt{20-4m}}{2}＞0$，
解得：m＜5

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，难度中档．