Question

15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l：ρcosθ-ρsinθ-1=0和曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2sinφ}\\{y=-1+2cosφ}\end{array}\right.$（φ为参数）
（1）将l与C的方程化为普通方程；
（2）判定直线l与曲线 C是否相交，若相交求出l被C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直线l的直角坐标方程，用x，y表示出cosφ，sinφ利用cos²φ+sin²φ=1消参数得到曲线C的普通方程；
（2）求出圆心到直线l的距离，利用垂径定理求出弦长．

解答 解：（1）∵ρcosθ-ρsinθ-1=0，∴直线l的直角坐标方程为x-y-1=0，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2sinφ}\\{y=-1+2cosφ}\end{array}\right.$，∴sinφ=$\frac{x-1}{2}$，cosφ=$\frac{y+1}{2}$，
∴曲线C的普通方程为（$\frac{x-1}{2}$）²+（$\frac{y+1}{2}$）²=1，即（x-1）²+（y+1）²=4．
（2）由（1）知曲线C表示圆心为C（1，-1）半径为2的圆，
圆心C到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜2，故直线l与曲线C相交，
直线l被曲线C截得的弦长为2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．