Question

5．已知点F₁，F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的焦点，点M在椭圆C上且满足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$，则△MF₁F₂的面积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由椭圆性质和余弦定理推导出cos∠F₁MF₂=90°，由此利用椭圆定义和定弦定理能求出△MF₁F₂的面积．

解答 解：∵点F₁，F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的焦点，
点M在椭圆C上且满足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=2$\sqrt{3}$，
∴$|\overrightarrow{M{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{M{F}_{2}}{|}^{2}$+2|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|cos∠F₁MF₂=12，①
由余弦定理得$|\overrightarrow{M{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{M{F}_{2}}{|}^{2}$-2$|\overrightarrow{M{F}_{1}}|•|\overrightarrow{M{F}_{2}}|•cos∠{F}_{1}M{F}_{2}$=12，②
联立①②，得：
cos∠F₁MF₂=90°，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a=4，
∴$|M{F}_{1}{|}^{2}+|M{F}_{2}{|}^{2}-2|M{F}_{1}|•|M{F}_{2}|$=16，
∴|MF₁|•|MF₂|=$\frac{1}{2}$（16-12）=2，
∴△MF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|=$\frac{1}{2}$×2=1．
故选：C．

点评 本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、正弦定理、余弦定理的合理运用．