Question

17．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为$\frac{3}{2}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{ME}=0$得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．

解答 解：（1）∵$F（\frac{p}{2}，0）$，∴圆心Q在线段OF的垂直平分线$x=\frac{p}{4}$上，
又∵准线方程为：$x=-\frac{p}{2}$，∴$\frac{p}{4}-（-\frac{p}{2}）=\frac{3}{2}$，得p=2，
∴抛物线C：y²=4x；
（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，
设直线DE的方程为：x=my+t，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，得y²-4my-4t=0，
则△=16m²+16t＞0 ①．
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∵$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{ME}=（{x_1}-4，{y_1}-4）•（{x_2}-4，{y_2}-4）$
=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16
=$\frac{y_1^2}{4}-\frac{y_2^2}{4}-4（\frac{y_1^2}{4}+\frac{y_2^2}{4}）+16+{y_1}{y_2}-4（{y_1}+{y_2}）+16$
=$\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}-{（{y_1}+{y_2}）^2}+3{y_1}{y_2}-4（{y_1}+{y_2}）+32$
=t²-16m²-12t+32-16m=0，
即t²-12t+32=16m²+16m，得：（t-6）²=4（2m+1）²，
∴t-6=±2（2m+1），即：t=4m+8或t=-4m+4，
代入①式检验均满足△＞0，
∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．
∴直线过定点（8，-4），（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．