Question

12．已知sinα-cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，α∈（π，2π）．
（Ⅰ）求sinαcosα的值； 
（Ⅱ）求tanα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sinα-cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，α∈（π，2π），两边平方化简即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2sinαcosα=$\frac{3}{5}$＞0，又α∈（π，2π），可得α∈$（π，\frac{3π}{2}）$．因此sinα＜0，cosα＜0，sinα+cosα＜0．两边平方化简与sinα+cosα=-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，联立解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵sinα-cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，α∈（π，2π），∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}$，
∴sinαcosα=$\frac{3}{10}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2sinαcosα=$\frac{3}{5}$＞0，
又∵α∈（π，2π），∴α∈$（π，\frac{3π}{2}）$．
∴sinα＜0，cosα＜0，sinα+cosα＜0．
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{8}{5}$，
∴sinα+cosα=-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinα-cosα=\frac{\sqrt{10}}{5}}\\{sinα-cosα=-\frac{2\sqrt{10}}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{sinα=-\frac{\sqrt{10}}{10}}\\{cosα=-\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$，
∴tanα=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．