Question

2．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）将C的方程化为普通方程；
（2）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求3x+4y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据参数得平方和等于1消去参数得到普通方程；
（2）把参数方程代入3x+4y得到关于θ的三角函数，根据三角函数的性质求出最值．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{4}}\\{sinθ=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$，∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
（2）∵3x+4y=12cosθ+12sinθ=12$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
∴当sin（$θ+\frac{π}{4}$）=1时，3x+4y取得最大值12$\sqrt{2}$，
当sin（$θ+\frac{π}{4}$）=-1时，3x+4y取得最小值-12$\sqrt{2}$．
∴3x+4y的取值范围是[-12$\sqrt{2}$，12$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．