Question

14．设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ+3=0，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+m}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是参数，m是常数）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）若C₁与C₂有两个不同的公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ+3=0，即ρ²（cos²θ-sin²θ）+3=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+m}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是参数，m是常数），消去参数t可得普通方程．
（II）把x=2y+m代入双曲线方程可得：3y²+4my+m²+3=0，由于C₁与C₂有两个不同的公共点，△＞0，可解得m的取值范围．

解答 解：（I）曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ+3=0，即ρ²（cos²θ-sin²θ）+3=0，可得直角坐标方程：x²-y²+3=0．
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+m}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是参数，m是常数），消去参数t可得普通方程：x-2y-m=0．
（II）把x=2y+m代入双曲线方程可得：3y²+4my+m²+3=0，由于C₁与C₂有两个不同的公共点，
∴△=16m²-12（m²+3）＞0，解得m＜-3或m＞3，
∴m＜-3或m＞3．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．