Question

19．设M是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的点，过M作x轴的垂线l，垂足为N，P为直线l上一点，且$\overrightarrow{PN}$=2$\overrightarrow{MN}$，当点M在椭圆上运动时，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设椭圆的右焦点为F，上顶点为A，求$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），M（x₀，y₀），运用向量共线的坐标表示和点满足椭圆方程，可得所求轨迹方程；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和直线与圆有公共点的条件：d≤r，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）设P（x，y），M（x₀，y₀），∵$\overrightarrow{PN}$=2$\overrightarrow{MN}$，
∴x₀=x，y₀=$\frac{y}{2}$，
∵点M在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
即$\frac{{x}^{2}}{4}$+（$\frac{y}{2}$）²=1，整理得x²+y²=4．
∴曲线C的方程为x²+y²=4；
（2）∵椭圆的右焦点F（$\sqrt{3}$，0），上顶点A（0，1），
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$=（x-$\sqrt{3}$，y）•（x，y-1）=（x-$\sqrt{3}$）x+y（y-1）=x²+y²-$\sqrt{3}$x-y=4-$\sqrt{3}$x-y，
设t=$\sqrt{3}$x+y，即$\sqrt{3}$x+y-t=0，
∵d=$\frac{|t|}{\sqrt{3+1}}$≤2，
∴-4≤t≤4，
∴0≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$≤8，
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{FP}$的取值范围为[0，8]．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意向量共线的坐标表示和点满足椭圆方程，考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆相交的条件，属于中档题．