Question

7．已知圆O：x²+y²=1的切线l与椭圆C：x²+3y²=4相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；
（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；
（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S_△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知a²=4，${b^2}=\frac{4}{3}$，即有${c^2}={a^2}-{b^2}=\frac{8}{3}$．
则$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．故椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；
（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．
在$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$中，令x=1得y=±1．
不妨设A（1，1），B（1，-1），则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1-1=0$．可得OA⊥OB；
同理，当l：x=-1时，也有OA⊥OB．
若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，即k²+1=m²．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+3{y^2}=4}\end{array}}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-4=0．显然△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-4}}{{3{k^2}+1}}$．
所以${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$．
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=$（{k^2}+1）\frac{{3{m^2}-4}}{{3{k^2}+1}}-km\frac{6km}{{3{k^2}+1}}+{m^2}$
=$\frac{{（{k^2}+1）（3{m^2}-4）-6{k^2}{m^2}+（3{k^2}+1）{m^2}}}{{3{k^2}+1}}$
=$\frac{{4{m^2}-4{k^2}-4}}{{3{k^2}+1}}$=$\frac{{4（{k^2}+1）-4{k^2}-4}}{{3{k^2}+1}}=0$．
所以OA⊥OB．
综上所述，总有OA⊥OB成立．  
（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．
当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S_△OAB=1．
当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$
=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（\frac{6km}{{3{k^2}+1}}）}^2}-4•\frac{{3{m^2}-4}}{{3{k^2}+1}}}$=$\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+1}}•\sqrt{9{k^2}{m^2}-（3{m^2}-4）（3{k^2}+1）}$
=$\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+1}}•\sqrt{12{k^2}-3{m^2}+4}=\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+1}}•\sqrt{12{k^2}-3（{k^2}+1）+4}$
=$\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+1}}•\sqrt{9{k^2}+1}$．
所以${|{AB}|^2}=\frac{{4（1+{k^2}）（9{k^2}+1）}}{{{{（3{k^2}+1）}^2}}}=\frac{{4（9{k^4}+10{k^2}+1）}}{{9{k^4}+6{k^2}+1}}=4（1+\frac{{4{k^2}}}{{9{k^4}+6{k^2}+1}}）$
=$4+16•\frac{k^2}{{9{k^4}+6{k^2}+1}}=4+\frac{16}{{9{k^2}+\frac{1}{k^2}+6}}≤4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$，
（当且仅当$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，等号成立）．
所以${|{AB}|_{max}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．此时，${（{S_{△OAB}}）_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
综上所述，当且仅当$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，△OAB面积的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于难题．