Question

9．已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系x轴正半轴重合，单位长度相同．）
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设M是直线l与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用cos²θ+sin²θ=1，可把曲线C的参数方程可化为普通方程；直线l的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．可化为 $\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，
，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线c为圆，圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=1，则|MC|=$\sqrt{5}$．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．

解答 解：（Ⅰ）利用cos²θ+sin²θ=1，可把曲线C的参数方程可化为（x-1）²+（y-2）²=1，
直线l的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．可化为 $\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，
可得：直线l的直角坐标方程为 x+y-2=0．
（Ⅱ）令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．
又曲线c为圆，圆C的圆心坐标为（1，2），半径r=1，则|MC|=$\sqrt{5}$．
∴|MN|≤|MC|+r=$\sqrt{5}$+1，
∴|MN|的最大值为$\sqrt{5}+$1．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．