Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中．底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，AP∥CQ，AB=2BC=2，CQ=$\frac{3}{2}$AP=3．
（1）求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PQ-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，以DA的方向为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立如图所示的空间坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，2），Q（-1，2，3），设设直线PD与平面BPQ所成角θ，由向量法能求出直线PD与平面BPQ所成角的正弦值
（2）设平面APQ的法向量为$\overrightarrow{m}$（x，y，z），设二面角A-PQ-B的平面角为β，则cosβ=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞，问题得以解决．

解答 解：（1）由于底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，
以A为坐标原点，以DA的方向为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立如图所示的空间坐标系，
∵AP∥CQ，AB=2BC=2，CQ=$\frac{3}{2}$AP=3，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，2），Q（-1，2，3），
∴$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{BP}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{BQ}$=（-1，0，3），
设平面BPQ的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BQ}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2y+2z=0}\\{-x+3z=0}\end{array}\right.$，
令x=3，则y=1，z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（3，1，1），
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{n}$=-3-2=-5，|$\overrightarrow{PD}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{11}$
设直线PD与平面BPQ所成角θ，向量$\overrightarrow{PD}$与向量$\overrightarrow{n}$的夹角为α，
∴sinθ=|cosα|=|$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{7}{\sqrt{5×19}}$$\frac{5}{\sqrt{5}•\sqrt{11}}$=$\frac{\sqrt{55}}{11}$
（2）设平面APQ的法向量为$\overrightarrow{m}$（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AQ}$=（-1，2，3），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AQ}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y+3z=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，则y=1，z=0，
∴$\overrightarrow{m}$=（2，1，0），
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=3×2+1×1+0=7，
设二面角A-PQ-B的平面角为β
∴cosβ=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m•}\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{5×11}}$=$\frac{7\sqrt{55}}{55}$．

点评 本题考查求二面角的大小，求直线与平面所成角的正弦值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．