Question

19．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线 c₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（Ⅰ）求曲线c₁的普通方程；
（Ⅱ）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出cosα，sinα利用cos²α+sin²α=1消参数得到曲线C₁的普通方程；
（2）先求出曲线C的普通方程，使用参数坐标求出点M到曲线C的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，∴cosα=$\frac{x}{3}$，sinα=$\frac{y}{2}$，∴曲线C₁的普通方程是：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）曲线C的普通方程是：x+2y-10=0．
点M到曲线C的距离为$d=\frac{{|{3cosα+4sinα-10}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{5cos（α-φ）-10}|$，（$cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$）．
∴α-φ=0时，${d_{min}}=\sqrt{5}$，此时$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．