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    17．在直角坐标系xOy中，射线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．
    （Ⅰ）已知M是C1上的动点，P点满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，求P点的轨迹的极坐标方程；
    （Ⅱ）记P点的轨迹为C2，设射线l与曲线C1与C2分别交于点A，B（异于A，B极点），求|AB|．

    分析 （I）设P（ρ，θ），则M（$\frac{ρ}{2}$，θ），将M点极坐标代入曲线C1极坐标方程得出P的轨迹方程．
    （II）由轨迹方程的定义可知|AB|=|OA|，故只需求出l被曲线C1所截线段长|OA|即可．使用参数几何意义求出|OA|．

    解答 解：（I）设P点极坐标为（ρ，θ），∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，∴M点的极坐标为（$\frac{ρ}{2}$，θ）．
    ∵M是C1上的动点，∴$\frac{ρ}{2}$=4sinθ，即ρ=8sinθ．
    ∴P点的轨迹的极坐标方程是ρ=8sinθ．
    （II）曲线C1的直角坐标方程为x2+（y-2）2=4．
    将$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0）代入x2+（y-2）2=4得t2-$\sqrt{3}t$=0，
    解得t1=0，t2=$\sqrt{3}$，∴|OA|=$\sqrt{3}$，
    由（I）可知|OB|=2|OA|=2$\sqrt{3}$．
    ∴|AB|=|OA|=$\sqrt{3}$．

    点评 本题考查了轨迹方程的求法，极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．

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    （Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
    （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

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    12．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），M是曲线C1上的动点，点P满足$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，
    （1）求点P的轨迹方程C2；
    （2）在以O为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线$θ=\frac{π}{3}$与曲线C1，C2交于不同于原点的点A，B求|AB|

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    2．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
    （1）将C的方程化为普通方程；
    （2）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求3x+4y的取值范围．

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    9．已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系x轴正半轴重合，单位长度相同．）
    （Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
    （Ⅱ）设M是直线l与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

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