Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足a_n+S_n=2n，则a_n=$2-{（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．

Answer 1

分析 由a_n+S_n=2n，求出a₁=1；当n≥2时，则$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n-1}-2}=\frac{1}{2}$，即数列{a_n-2}是以-1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进一步计算即可得到答案．

解答 解：由a_n+S_n=2n，得a₁+a₁=2，即a₁=1；
当n≥2时，有a_n-1+S_n-1=2（n-1），
则a_n-a_n-1+a_n=2，即${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+1$，
∴${a}_{n}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$，
则$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n-1}-2}=\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴${a}_{n}-2=-1•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
则${a}_{n}=2-（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
故答案为：$2-{（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．