Question

12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．
（1）若点O满足$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，求证：$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$；
（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据D为BC的中点，从而根据向量加法的平行四边形法则得到$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$，从而得到$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$，这便可得出$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$；
（2）同上$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$，从而得到$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{DO}$，进一步便可得到AB=6DO，从而有S_△ABC=6S_△BOC，这样便可得出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵D为BC边中点；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$；
∴由$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得，$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$；
（2）如图，根据条件：$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$$+2（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$
=$2\overrightarrow{OE}+4\overrightarrow{OD}$
=$\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{DO}$；
∴DE=3DO；
又AB=2DE；
∴AB=6DO；
∴S_△ABC=6S_△BOC=12；
即△ABC的面积为12．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量的加法和数乘运算，以及向量数乘的几何意义，三角形的面积公式．