Question

2．已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+$\sqrt{\frac{1}{2}xy}$恒成立，则a的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}+2}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
• C． $\sqrt{6}$+2
• D． $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 不等式a（x+y）≥x+$\sqrt{\frac{1}{2}xy}$分离参数，再利用换元法，构造函数，利用导数法确定函数的最大值，从而可求实数a的最小值

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式a（x+y）≥x+$\sqrt{\frac{1}{2}xy}$等价为a≥$\frac{x+\sqrt{\frac{1}{2}xy}}{x+y}$=$\frac{1+\sqrt{\frac{1}{2}•\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，
令$t=\sqrt{\frac{y}{x}}（t＞0）$，∴a≥$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}{1+{t}^{2}}$，
令u=$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}{1+{t}^{2}}$，∴u′=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}{t}^{2}-2t+\frac{\sqrt{2}}{2}}{（1+t{{\;}^{2}）}^{2}}$
令u′=0，∴t=-$\sqrt{2}$$+\sqrt{3}$（负值舍去）
∴函数在（0，$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）上单调增，在（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，+∞）上单调减
∴t=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$时，函数u=$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}{1+{t}^{2}}$取得最大值为$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$
∴a≥$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$
∴实数a的最小值为$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$
故选：A

点评 本题考查恒成立问题，利用参数分离法转化为求函数的最值问题，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．