Question

19．已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC=AC=BC=2，∠ACB=90°，P-AC-B的二面角的余弦值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：P为平面ABC外一点且PA=PB=PC可知点P在底面上的投影为△ABC的外心
而∠ACB=90，则△ABC的外心是AB的中点O，
而P在ABC平面外，则P必在平面ABC的经过AB中点的垂线上，
因此平面PAB⊥平面ABC，
过O作OE⊥AC于E，连接PE，
则E是AC的中点，
则∠OEP是二面角P-AC-B的平面角，
∵PA=PB=PC=AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴OE=1，PE=$\sqrt{P{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
则cos∠OEP=$\frac{OE}{PE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即P-AC-B的二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题主要考查三角形的内心以及二面角的平面角及求法，解决本题的关键就是理解点P在底面上的投影是底面三角形的内心，同时考查了空间想象能力．