Question

10．若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数．若函数g（x）=x²-m是（-∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（-1，-\frac{3}{4}）$
• B． $（-\frac{3}{4}，0）$
• C． $（\frac{3}{4}，1）$
• D． $（1，\frac{5}{4}）$

Answer 1

分析 根据正函数的定义可知，存在区间[a，b]⊆（-∞，0），x∈[a，b]时，g（x）∈[a，b]．根据g（x）在[a，b]上的单调性即可得到$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-m=a}\\{{a}^{2}-m=b}\end{array}\right.$，而这两式相减即可得到a+b=-1，从而得到a=-b-1，根据a＜b＜0可求出b的范围，而m=b²+b+1，这样根据二次函数的单调性即可求出b²+b+1的范围，从而求出m的范围．

解答 解：g（x）是（-∞，0）上的正函数；
∴存在区间[a，b]⊆（-∞，0），x∈[a，b]时，g（x）∈[a，b]；
∵g（x）在[a，b]上单调递减；
∴x∈[a，b]时，g（x）∈[g（b），g（a）]=[b²-m，a²-m]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-m=a}\\{{a}^{2}-m=b}\end{array}\right.$；
∴a²-b²=b-a；
∴a+b=-1；
∴a=-b-1；
由a＜b＜0得-b-1＜b＜0；
∴$-\frac{1}{2}＜b＜0$；
m=b²-a=b²+b+1；
设f（b）=b²+b+1，对称轴为b=-$\frac{1}{2}$；
∴f（b）在$（-\frac{1}{2}，0）$上单调递增；
∴f（b）∈（f（-$\frac{1}{2}$），f（0））=$（\frac{3}{4}，1）$；
∴实数m的取值范围为$（\frac{3}{4}，1）$．
故选：C．

点评 考查对正函数定义的理解，二次函数的单调性，以及根据函数单调性求函数的取值范围．结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．