Question

19．已知集合$A=\left\{{x∈R\left|{\frac{x-6}{x+2}≤0}\right.}\right\}$，$B=\left\{{x∈R\left|{（x-m）（x+m-1）≤0，m＞\frac{1}{2}}\right.}\right\}$，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用一元二次不等式的解法化简集合A，B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A?B，即可得出．

解答 解：由$\frac{x-6}{x+2}$≤0，可得$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）（x-6）≤0}\\{x+2≠0}\end{array}\right.$，解得-2＜x≤6．
∴集合$A=\left\{{x∈R\left|{\frac{x-6}{x+2}≤0}\right.}\right\}$=（-2，6]．
同理可得：$B=\left\{{x∈R\left|{（x-m）（x+m-1）≤0，m＞\frac{1}{2}}\right.}\right\}$=[-m+1，m]，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
∴A?B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+1＜-2}\\{6≤m}\end{array}\right.$，解得m≥6．
∴实数m的取值范围是m≥6．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、不等式的性质、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．