Question

8．求函数y=$\frac{2sinx-co{s}^{2}x}{1+sinx}$，x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的最大值．

Answer 1

分析 化简得到y═（sinx+1）-$\frac{2}{sinx+1}$，再设sinx+1=t，得到f（t）=t-$\frac{2}{t}$，根据函数的单调性求出函数的最值．

解答 解：y=$\frac{2sinx-co{s}^{2}x}{1+sinx}$=$\frac{2sinx-1+si{n}^{2}x}{1+sinx}$=$\frac{（sinx+1）^{2}-2}{sinx+1}$=（sinx+1）-$\frac{2}{sinx+1}$，
设sinx+1=t，
∵x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴t∈[$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（t）=t-$\frac{2}{t}$，
∴f′（t）=1+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
∴函数f（t）在[$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$]为增函数，
∴f（t）_max=f（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-3．

点评 本题考查了函数的最值的问题，关键是利用换元法和同角的三角函数的化简，属于中档题．