Question

2．已知函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），令a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$，n∈N^*，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₄=（　　）

• A． $\sqrt{2013}$-1
• B． $\sqrt{2014}$-1
• C． $\sqrt{2015}$-1
• D． $\sqrt{2015}$+1

Answer 1

分析 函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），代入解出a，可得f（x）=$\sqrt{x}$．a_n=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），
∴2=4^a，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=$\sqrt{x}$．
令a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
则S₂₀₁₄=$\sqrt{2015}$-1．
故选：C．

点评 本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．