Question

【题目】设f(x)为定义在R上的偶函数，且0≤x≤2时，y＝x；当x＞2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分．

(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；

(2)写出函数f(x)的值域和单调区间．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)；（2）值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]，[0，3]，单调减区间为[－3，0]，[3，＋∞).

【解析】

(1)先根据题意求出a=-2,再利用代入法求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；（2）作出函数f(x)的图像，写出函数f(x)的值域和单调区间．

解：(1)当x＞2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.

∵f(x)的图象过点A(2，2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，

∴a＝－2，

∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.

设x∈(－∞，－2)，则－x＞2，

∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.

又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，

即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．

(2)函数f(x)图象如图所示．

由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]，[0，3]．

单调减区间为[－3，0]，[3，＋∞)．