Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F作斜率为

b

a

的直线与椭圆交于A，B两点，若|FB|≥2|FA|，则椭圆的离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的右准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角△ABG中，tan∠BAG=

b

a

，可求出边之间的长度之比，可得离心率的取值范围．

解答： 解：如图，设椭圆的右准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
在直角△ABG中，tan∠BAG=

b

a

，∴AB=

2-e2

AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：e=

AF

AC

=

BF

BD

，
∵|FB|≥2|AF|，∴|BD|≥2|AC|，
在直角梯形ABDC中，AG=BD-AC=AC，…②
由①、②可得AB=

2-e2

AC，
又∵|AF|≤

1

3

AB=

1

3

2-e2

AC，
∴e=

|AF|

|AC|

≤

1

3

2-e2

，
∴0＜e≤

5

5

，
故答案为：0＜e≤

5

5

．

点评：本题考查圆锥曲线的统一定义的应用，结合解含有tan∠BAG=

b

a

的直角三角形，求椭圆的离心率，属于几何方法，运算量小，方便快捷．