Question

17．若函数f（x）=lnx-x-mx在区间[1，e²]内有唯一的零点，则实数m的取值范围是[-1，$\frac{2}{{e}^{2}}$-1）∪{$\frac{1}{e}$-1}．

Answer 1

分析 函数f（x）=lnx-x-mx在区间[1，e²]内有唯一的零点，就是方程lnx-x-mx=0在区间[1，e²]上有唯一实数解，只需m=$\frac{lnx}{x}$-1有唯一实数解，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-1，（x＞0），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：函数f（x）=lnx-x-mx在区间[1，e²]内有唯一的零点，
得-x+lnx=mx，又x＞0，所以m=$\frac{lnx}{x}$-1，
要使方程lnx-x-mx=0在区间[1，e²]上有唯一实数解，
只需m=$\frac{lnx}{x}$-1有唯一实数解，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-1，（x＞0），∴g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e²]上是减函数．
g（1）=-1，g（e）=$\frac{1}{e}$-1，g（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$-1，
故-1≤m＜$\frac{2}{{e}^{2}}$-1或m=$\frac{1}{e}$-1 
故答案为：[-1，$\frac{2}{{e}^{2}}$-1）∪{$\frac{1}{e}$-1}．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想以及计算能力，是一道中档题．