Question

5．已知F（x）=f（x）-g（x），其中f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-2），当点（x，y）在y=f（x）的图象上时，就有（2x，2y）在y=g（x）的图象上．
（1）求g（x）的解析式；
（2）解不等式F（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）设g（x）图象上一点为（m，n）则m=2x，n=2y，从而x=$\frac{1}{2}$m，y=$\frac{1}{2}$n 代入f（x）的解析式，可求出所求；
（2）根据对数的运算性质，求出F（x）的解析式，解对数不等式可得答案．

解答 解：①设g（x）图象上一点为（m，n）
则m=2x，n=2y，
∴x=$\frac{1}{2}$m，y=$\frac{1}{2}$n 代入f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-2），
有$\frac{1}{2}$n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$m-2），即n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$m-2）²，
即g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x-2）²，
②F（x）=f（x）-g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-2）-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x-2）²，
=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{（\frac{1}{2}x-2）^{2}}$，
若F（x）≥0，则0＜$\frac{x-2}{（\frac{1}{2}x-2）^{2}}$≤1，
解得：x∈（2，6-2$\sqrt{3}$]∪[6+2$\sqrt{3}$，+∞）

点评 本题考查的知识点是轨迹方程，函数解析式的求法，对数不等式的解法，对数的运算性质，难度中档．