Question

已知函数f(x)=

3

sinωxcosωx-cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为

π

2

（1）求ω的值
（2）写出函数f（x）图象的对称轴
（3）设△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为x，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角与两角和三角函数公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，直接求出函数的周期，即可求ω的值．
（2）根据正弦函数的对称轴，直接写出函数f（x）图象的对称轴方程即可．
（3）设△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为x，利用余弦定理求出x 的范围，得到4x-

π

6

∈(0，

7π

6

]，即可求函数f（x）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx-cos2ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

(1+cos2ωx)
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

…（3分）
由已知，

2π

2ω

=

π

2

∴ω=2…（1分）
（2）写出函数f（x）图象的对称轴    f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

由4x-

π

6

=kπ+

π

2

得：x=

kπ

4

+

π

6

 (k∈Z)…（2分）
（3）设△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为x，
∵cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

∴cosx∈[

1

2

，1)…（3分）
∴x∈(0，

π

3

]…（1分）
∴4x-

π

6

∈(0，

7π

6

]∴f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

∈[-1，

1

2

]…（2分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，余弦定理的应用，考查计算能力．