Question

8．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x²f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=$\frac{1}{e}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）在（0，+∞）单调递增
• B． f（x）在（0，+∞）单调递减
• C． f（x）在（0，+∞）上有极大值
• D． f（x）在（0，+∞）上有极小值

Answer 1

分析 第一步：在x²f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x，使得左边为[xf（x）]'；
第二步：令g（x）=xf（x），用g（x）表示f（x），并写出f'（x）；
第三步：对f'（x）的分子再求导，从而求出分子的最大值；
第四步：判断f'（x）的符号，即可判断f（x）的单调性．

解答 解：由x²f′（x）+xf（x）=lnx，得xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
从而[xf（x）]'=$\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=xf（x），则f（x）=$\frac{g（x）}{x}$，∴$f'（x）=\frac{xg'（x）-g（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-g（x）}{{x}^{2}}$，
令h（x）=lnx-g（x），则h'（x）=$\frac{1}{x}-g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}=\frac{1-lnx}{x}$（x＞0），
令h'（x）＞0，即1-lnx＞0，得0＜x＜e时，h（x）为增函数；
令h'（x）＜0，即1-lnx＜0，得x＞e时，h（x）为减函数；
由f（e）=$\frac{1}{e}$，得g（e）=ef（e）=1．
∴h（x）在（0，+∞）上有极大值h（e）=lne-g（e）=1-1=0，也是最大值，
∴h（x）≤0，即f'（x）≤0，当且仅当x=e时，f'（x）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，难度较大．“在x²f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x”是解题的突破口，“求h（x）的极大值”是关键．