Question

如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，
AB∥CD，CD=2AB=2AD．
（Ⅰ）求证：BC⊥BE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正切值；
（Ⅲ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质,直线与平面所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（I）根据面面垂直的性质可证DE⊥平面ABCD，利用勾股定理证明BC⊥BE；
（II）根据直线与平面所成角的定义证明∠CEB为CE与面BDE所成的角，在Rt△BCE中，求tan∠CEB的值；
（III）取EC中点M，利用面面平行证明BM∥面ADEF．

解答： 解：（I）由已知：平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD．
DE⊥AD，DE?PMADEF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥BC，
设CD=2AB=2AD=2，∴DE=1，则BC=

2

，BD=

2

，BE=

3

，CE=

5

，
∴CE²=BE²+BC²，∴BC⊥BE；
（II）由（1）可知：BC⊥BE，由BC⊥DE，∴BC⊥平面BDE，
∴∠CEB为CE与面BDE所成的角．
在Rt△BCE中，tan∠CEB=

BC

BE

=

2

3

=

6

3

，
（III）取EC中点M，则BM∥面ADEF，
证明如下：取CD的中点P，连结MB、MP，则BP∥AD，∴BP∥面ADEF，
又M、P分别为EC、DC的中点，∴MP∥ED，∴MP∥面ADEF，又BP∩MP=P，∴面BMP∥面ADEF，
BM?平面BMP，∴BM∥面ADEF．

点评：本题考查了面面平行、面面垂直的性质及直线与平面所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，综合性强．