Question

已知函数f（x）=ax²-e^x（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，令h（x）=f′（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）证明：-

e

2

＜f（x₁）＜-1（注：e是自然对数的底数）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，直接求出h（x）=f′（x），利用导函数的符号，求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）（ⅰ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．说明导函数为0，有两个解，利用函数的单调性，推出2a＞φ（1）=e，求实数a的取值范围；
（ⅱ）由f'（x₁）=0，推出a=

ex1

2x1

，x₁∈（0，1），f(x1)=ax12-ex1=

ex1

2x1

•x12-ex1=ex1(

x1

2

-1)，构造函数φ(t)=et(

t

2

-1)(0＜t＜1)，求出新函数的导数，φ（t）在0＜t＜1上单调递减，得到φ（1）＜φ（t）＜φ（0），即可证明：-

e

2

＜f（x₁）＜-1．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，h'（x）=2-e^x，令h'（x）=0⇒x=ln2，---------（2分）
当x＞ln2，h'（x）＜0；x＜ln2，h'（x）＞0；
∴h'（x）的单调增区间为（-∞，ln2），单调减区间为（ln2，+∞）-------（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，
故方程2ax-e^x=0有两个根x₁，x₂，
又x=0显然不是该方程的根，∴方程2a=

ex

x

有两个根，------（6分）
设φ(x)=

ex

x

，得φ′=

ex(x-1)

x2

，
当x＜0时，φ（x）＜0且φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，
当x＞0时，φ（x）＞0，当0＜x＜1时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x＞1时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，---------（9分）
要使方程2a=

ex

x

有两个根，需2a＞φ（1）=e，
故a＞

e

2

且0＜x₁＜1＜x₂，
故a的取值范围为(

e

2

，+∞)-------（10分）
（ⅱ）由f'（x₁）=0，得2ax1-ex1=0，故a=

ex1

2x1

，x₁∈（0，1）f(x1)=ax12-ex1=

ex1

2x1

•x12-ex1=ex1(

x1

2

-1)，x₁∈（0，1）-----（12分）
设φ(t)=et(

t

2

-1)(0＜t＜1)，则φ′(t)=et

t-1

2

＜0，φ（t）在0＜t＜1上单调递减，
故φ（1）＜φ（t）＜φ（0），即-

e

2

＜f(x1)＜-1-------（14分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法二次求导的应用，综合性强．