Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d．已知S₂，S₃+1，S₄成等差数列．
（Ⅰ）求d的值；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₅成等比数列，求

an+1

2(Sn+4)

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意列出方程解得d；
（Ⅱ）由等差数列的通项公式及前n项和公式求得a_n、s_n，然后利用基本不等式求得最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由S₂，S₃+1，S₄成等差数列得s₂+s₄=2s₃+2，…（2分）
即（2a₁+d）+（4a₁+6d）=2（3a₁+3d）+2，得d=2   …（5分）
（Ⅱ）由a₁，a₂，a₅成等比数列得

a

2 2

=a₁a₅，即(a1+d)2=a₁（a₁+4d）
解得a₁=1                      …（7分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，s_n=

n(a1+an)

2

=n²…（9分）
所以

an+1

2(sn+4)

=

n

n2+4

=

1

n+ 4 n

≤

1

4

       …（11分）
所以，当n=2时，

an+1

2(Sn+4)

的最大值为

1

4

   …（12分）

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质及求和公式知识，考查学生的运算能力及运用基本不等式求函数最值的能力，属中档题．