Question

已知数列{a_n}是首项为a（a≠0），公比为q的等比数列，设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）设c_n=log₄b_n，数列{c_n}的前n项和为S_n，若a=2，q=2，是否存在正正数k，使得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞k对任意正正数n恒成立？若存在，求出正整数k的值或范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式，求出首项和公比，即可求出相应的通项公式，数列{b_n}的前n项和T_n．
（2）数列{c_n}的前n项和为S_n，即得到得到结论．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是首项为a（a≠0），公比为q的等比数列，
∴b_n=a_n+1-a_n=aqⁿ-aq^n-1=aq^n-1（q-1），
当q=1时，T_n=0；
当q≠1时，数列{b_n}是公比为q，首项为a（q-1）的等比数列，
∴T_n=

a(q-1)(1-qn)

1-q

=a（qⁿ-1），
综上T_n═a（qⁿ-1）．…（6分）
（2）若a=2，q=2，则b_n=2ⁿ，
则c_n=log₄b_n=log₄2ⁿ=

n

2

，
∴S_n=

n(n+1)

4

，

1

Sn

=

4

n(n+1)

=4（

1

n

-

1

n+1

）．
则

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=4（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=4（1-

1

n+1

）≥4(1-

1

2

)=4×

1

2

=2，
即k＜2，
则正整数k的值为1．

点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，利用裂项法法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．