Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式可得 sinC（2cosB-1）=0，故有cosB=

1

2

，由此求得 B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

3

sinA+sin（C-

π

6

）=2sin（A+

π

6

），根据A∈（0，

2π

3

），利用正弦函数的定义域和值域求得

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵（2c-a）cosB-bcosA=0，∴2sinCcosB-sinAcosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
即sinC（2cosB-1）=0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

3

sinA+sin（C-

π

6

）=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

2π

3

），
∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴2sin（A+

π

6

）∈（1，2]，即

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范围是（1，2]．

点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．