Question

由某种设备的使用年限x_i（年）与所支出的维修费y_i（万元）的数据资料算得如下结果，

5

i=1

x_i²=90，

5

i=1

x_iy_i=112，

5

i=1

x_i=20，

5

i=1

y_i=25．
（1）求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程

y

=

b

x+

a

；
（2）①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．
（附：在线性回归方程

y

=

b

x+

a

中，

b

=

n i=1 xiyi-n . xy

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

，其中

.

x

，

.

y

为样本平均值．）

Answer 1

考点：线性回归方程

专题：概率与统计

分析：（1）利用已知条件求出样本中心坐标，以及

b

=

n i=1 xiyi-n . xy

n i=1 x 2 i -n . x 2

，代入回归直线方程，求出

a

，即可求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程

y

=

b

x+

a

；
（2）①直接利用回归直线方程的斜率，判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
②当使用年限为8年时，代入回归直线方程，即可估计支出的维修费的值．

解答： 解：（1）∵

5

i=1

xi=20，

5

i=1

yi=25，∴

.

x

=

1

5

5

i=1

xi=4，

.

y

=

1

5

5

i=1

yi=5
∴

?

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=

112-5×4×5

90-5×42

=1.2…（3分）

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

=5-1.2×4=0.2…（5分）
∴线性回归方程

?

y

=1.2x+0.2．                    …（6分）
（2）①由（1）知

?

b

=1.2＞0，∴变量x与y之间是正相关．            …（9分）
②由（1）知，当x=8时，

?

y

=9.8（万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元．
…（12分）

点评：本题考查线性回归方程的求法，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题．