精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=ax-ln x,g(x)=,它们的定义域都是(0,e],其中e是自然对数的底e≈2.7,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(2)当a=1时,求证:f(m)>g(n)+对一切m,n∈(0,e]恒成立;
(3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值是3?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
(1)1   (2)见解析   (3)见解析
解:(1)当a=1时,f(x)=x-ln x.
所以f′(x)=1-.
令f′(x)=0,得x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,e]
f′(x)

0

f(x)
?
1
?
 
所以当x=1时,f(x)min=1.
(2)证明:由(1)知,当m∈(0,e]时,
有f(m)≥1.
因为0<x≤e,所以g′(x)=≥0,
即g(x)在区间(0,e]上为增函数,
所以g(x)≤g(e)=<
所以g(x)+<=1,
所以当m,n∈(0,e]时,
g(n)+<1≤f(m).
所以f(m)>g(n)+对一切m,n∈(0,e]恒成立.
(3)假设存在实数a,使f(x)的最小值是3,则
f′(x)=a-.
①当a≤时,因为0<x≤e,所以ax≤1,
所以f′(x)≤0,所以f(x)在(0,e]上为减函数.
所以当x=e时,fmin(x)=ae-1=3,
解得a=(舍去);
②当a>时,
若0<x<时,f′(x)<0,f(x)在上为减函数;
<x≤e时,f′(x)>0,f(x)在上为增函数.
所以当x=时,fmin(x)=1-ln=3,解得a=e2.
所以假设成立,存在实数a=e2,使得f(x)的最小值是3.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数,其中.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若对于任意的,不等式上恒成立,求的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数
(1)若时,函数有三个互不相同的零点,求的取值范围;
(2)若函数内没有极值点,求的取值范围;
(3)若对任意的,不等式上恒成立,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数 上的最小值;
(3)对一切的,恒成立,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)当a=1时,求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的值;
(3)若对任意,且恒成立,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数处取极值.
(1)求的值;
(2)求上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设函数在R上存在导数,对任意的R,有,且(0,+)时,.若,则实数a的取值范围为(   )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.(-∞,2]D.[2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

(2014·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是__________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案