设直线x＝t与函数f(x)＝x2.g(x)＝lnx的图象分别交于点M.N.则当|MN|达到最小时t的值为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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设直线x＝t与函数f(x)＝x²，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．

如图：|MN|＝f(t)－g(t)＝t²－lnt(t>0)，

令h(t)＝t²－lnt(t>0)，
则h′(t)＝2t－

＝

，
令h′(t)>0，得t>

，
令h′(t)<0，得0<t<

，
∴h(t)在(0，

)上单调递减，在(

，＋∞)上单调递增．
∴当t＝

时，h(t)取最小值，即t＝

时，|MN|取最小值．

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已知函数

（

R），

为其导函数，且

时

有极小值

．
（1）求

的单调递减区间；
（2）若

，

，当

时，对于任意x，

和

的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；
（3）若不等式

（

为正整数）对任意正实数

恒成立，求

的最大值．

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已知函数f(x)＝ax－ln x，g(x)＝

，它们的定义域都是(0，e]，其中e是自然对数的底e≈2.7，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)当a＝1时，求证：f(m)>g(n)＋

对一切m，n∈(0，e]恒成立；
(3)是否存在实数a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

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求下列函数的导数：
(1)

；
(2)

．

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函数

（1）

时，求

最小值；
（2）若

在

是单调减函数，求

取值范围．

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设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x²－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
(1)设函数f(x)＝ln x＋

(x＞1)，其中b为实数．
①求证：函数f(x)具有性质P(b)；
②求函数f(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x₁，x₂∈(1，＋∞)，x₁＜x₂，设m为实数，α＝mx₁＋(1－m)x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，求m的取值范围．

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点P是曲线