Question

（2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）²lnx，a∈R
（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立．
注：e为自然对数的底数．

Answer 1

（1）a=e，或a=3e    （2）

（1）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），
因为x=e是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验，a=e或a=3e符合题意，
所以a=e，或a=3e
（2）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e²成立
②当1＜x≤3e时，，由题意，首先有f（3e）=（3e﹣a）²ln3e≤4e²，
解得
由（1）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），
令h（x）=2lnx+1﹣，则h（1）=1﹣a＜0，
h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣≥2ln3e+1﹣=2（ln3e﹣）＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x₀
则1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，从而，当x∈（0，x₀）时，f′（x）＞0，
当x∈（x₀，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）内是增函数，
在（x₀，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有
有h（x₀）=2lnx₀+1﹣=0得a=2x₀lnx₀+x₀，将它代入得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函数4x²ln³x在（1，+∞）上是增函数故1＜x₀≤e
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e﹣a）²ln3e≤4e²解得，
所以得
综上，a的取值范围为