Question

已知扇形OAB的半径为3，圆心角∠AOB=60°，过弧AB上的动点P作平行于BO的直线交AO于点Q，设∠AOP=θ．
（1）求△POQ的面积S关于θ的函数解析式S=f（θ）；
（2）θ为何值时，S=f（θ）有最大值？并求出该最大值．

Answer 1

分析：（1）在三角形POQ中，利用正弦定理列出关系式，表示出OQ，利用三角形面积公式列出函数解析式即可；
（2）将函数解析式积化为差，整理后根据余弦函数的图象与性质即可求出最大值，以及此时θ的度数即可．

解答：解：（1）在△POQ中，由正弦定理得：

OQ

sin∠OPQ

=

OP

sin∠OQP

，即

OQ

sin(60°-θ)

=

3

sin120°

，
∴OQ=2

3

sin（60°-θ），
则S=

1

2

OP•OQ•sin∠POQ=3

3

sinθsin（60°-θ），θ∈（0，60°）；
（2）S=3

3

sinθsin（60°-θ）=

3 3

2

[cos（2θ-60°）-cos60°]=

3 3

2

[cos（2θ-60°）-

1

2

]，
则当cos（2θ-60°）=1，即θ=30°时，S_max=

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．