Question

已知函数f（x）=x²+ax+b
（1）若-2≤a≤4，-2≤b≤4（a，b∈Z），求等式f（x）＞0的解集为R的概率；
（2）若|a|≤1，|b|≤1，求方程f（x）=0两根都为负数的概率．

Answer 1

分析：（1）利用乘法原理求出满足条件的不等式共有7×7=49个，通过列举的方法求出足等式f（x）＞0的解集为R的不等式有20个，利用古典概型的概率公式求出概率．
（2）结合二次函数的图象得到方程f（x）=0两根都为负数满足的条件，利用几何概型的概率公式表示出概率，利用定积分求出面积．

解答：解：（1）满足条件的不等式共有7×7=49个
不等式解集为R的条件是a²-4b＜0
a=-2时b=2，3，4
a=-1时b=1，2，3，4
a=0时b=1，2，3，4
a=1时b=1，2，3，4
a=2时b=2，3，4
a=3时b=3，4
所以满足等式f（x）＞0的解集为R的不等式有20个
故等式f（x）＞0的解集为R的概率是

20

49

（2）方程f（x）=0两根都为负的条件是

-a＜0 b＞0 a2-4b≥0

，即

a＞0 b＞0 b≤ 1 4 a2

（*）
点（a，b）组成的区域面积为4
满足（*）的区域面积为

∫

1 0

1

4

a2da=

1

12

所以：方程f（x）=0两根都为负的概率P=

1

48

点评：求一个事件的概率，应该先判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．