Question

【题目】已知椭圆：的离心率，该椭圆中心到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点的直线，使直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过定点？若存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 存在直线：或：，使得以为直径的圆经过点.

【解析】分析：由，该椭圆中心到直线的距离为，求出椭圆方程；

（2）先假设存在这样的直线，设出直线方程（注意考虑斜率），与椭圆联立，考虑然后设，，利用韦达定理，利用为直径的圆过定点，转化，转化坐标构造方程进行求解。

详解：（1）直线的一般方程为，

依题意得，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，此时，为椭圆的短轴端点，以为直径的圆经过点.

当直线的斜率存在时，设其斜率为，由，

得.

所以，得.

设，，则，①

而 .

因为以为直径的圆过定点，所以，则，即.

所以.②

将①式代入②式整理解得.

综上可知，存在直线：或：，使得以为直径的圆经过点.

点晴：本题考查直线与椭圆的位置关系，这类题目一般涉及设直线方程，然后和椭圆联立，设点，考虑，然后利用韦达定理，接下来就是对题干的转化啦，本题中典型的垂直问题，主要转化方向就是向量点乘，因为斜率的话还需要考虑斜率是否存在。