Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=﹣3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得c=2，

短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得

a= 2b，即有a= b，a2﹣b2=4，

解得a= ，b= ，

则椭圆方程为 =1；

（2）证明：设M（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），

PQ的中点为N（x0，y0），kMF=﹣m，

由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，

代入椭圆方程可得（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

即有y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

于是N（﹣ ， ），

则直线ON的斜率kON=﹣ ，

又kOM=﹣ ，

可得kOM=kON，

则O，N，M三点共线，即有OM经过线段PQ的中点．

【解析】（1）由椭圆C的焦距为4，及等边三角形的性质和a2=b2+c2 ， 求得a，b，即可求椭圆C的标准方程；（2）设M（﹣3，m），P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），PQ的中点为N（x0 ， y0），kMF=﹣m，设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．