Question

（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）点恒在直线上

【解析】

试题分析：（1）直线与x轴的交点为椭圆的右焦点，所以由得从而，所以椭圆的标准方程为．（2）探索性问题，先通过特殊情形探索目标：令，则根据对称性知满足题意的定直线只能是．问题转化为证明P,B,D三点共线，可利用斜率相等进行证明：设，，则，从而，再利用直线与椭圆方程联立方程组得关于y的一元二次方程，由韦达定理得与关系，进而得

试题解析：（1）由题设，得解得从而，

所以椭圆的标准方程为． 4分

（2）令，则，或者，．

当，时，；当，时，，

所以，满足题意的定直线只能是． 6分

下面证明点恒在直线上．

设，，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上． 8分

由得，

，

，．① 10分

∵

， 13分

①式代入上式，得， 所以 ． 15分

∴点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点

， 所以存在一条定直线：使得点恒在直线上． 16分

考点：直线与椭圆位置关系

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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